"Paradoxe" des anniversaire

[frédogoto]

Un cas typique : imaginez que vous soyez a une fête d'une 50aine de personne

vous pouvez pariez presque sans risque qu'au moins une paire de personne fêterons leur anniversaire le même jour (la probabilité est de 95%)

Plus risqué mais pouvant rapporter nettement plus gros tant le resultat est contre intuitif : à partir de 23 personne les chances sont de 51% !!!!!!!

pourquoi comment ?

Faisons ensemble le calcul pour un groupe de N personnes. Pour faire cela, on va prendre le problème à l’envers, et calculer la probabilité P que toutes les personnes aient leur anniversaire un jour différent. Et pour calculer cette probabilité, on va classiquement procéder par dénombrement.

Commençons par l’ensemble de tous les cas possibles : pour la première personne, 365 dates sont possibles, pour la seconde aussi, de même que pour la troisième et toutes les autres. Si on multiplie tout ça il y a donc 365^[exposant]N[/exposant] cas possibles.

Maintenant quels sont les cas où les anniversaires sont tous différents ?

pour la première personne il y a 365 choix, pour la seconde il n’en reste que 364, pour la troisième 363, etc. et pour la Nième seulement (365-N+1). Si on multiplie tout ça on trouve la quantité 365! / (365-N)! (pour les lycéens, celle qu’on note parfois A(365,N), le nombre d’arrangements).

On peut donc calculer notre probabilité P qui vaut

J’espère que vous me croyez pour l’application numérique, mais avec N=23 personnes on trouve P = 0,49. Mais rappelez vous que P est la probabilité que les anniversaires soient tous différents. Donc la probabilité qu’il y en ait au moins deux identiques est 1 – P, soit ici 0,51, c’est-à-dire 51% de chance !

Et plus il y a de personnes dans le groupe, plus cette probabilité augmente. Dans un groupe de 50 personnes, il y a plus de 95% de chance que deux personnes aient leur anniversaire le même jour.

Pour trouver d’autres paradoxes de ce genre, on peut calculer la probabilité en remplaçant 365 par n’importe quel nombre K, et pour n’importe quelle taille de groupe N. Le résultat est représenté dans le graphique ci-dessous, la couleur indiquant la probalité que 2 personnes au moins parmi les N aient une caractéristique identique, celle-ci étant prise dans un ensemble de taille K.

Prenons un exemple précis : il y a 365 jours dans l’année et 24 heures par jour, soit au total 8760 tranches horaires pour naître dans l’année. Le graphique montre que dès que vous réunissez une centaine de personnes, il y a plus de 50% de chance que deux personnes soient nées le même jour dans la même tranche horaire ! Encore un résultat contre-intuitif, qui justifie l’appellation de paradoxe !

Il y a 200 fois plus de chance de gagner au loto que de réunir 120 personnes sans qu’aucune n’ait son anniversaire le même jour qu’une autre…

[Dieter333]

inattendu !

[Obiwan]

Et génial !

J'adore les maths quand c'est aussi bine expliqué.

[Axel]

Faux !!!

Je pourrai même organiser une fête avec 366 personnes fêtant leur anniversaires à des dates différentes.

Il me semble que tu as juste oublié un point dans l'énoncé : les personnes doivent être choisies au hasard. C'est évident, mais si tu ne le précise pas, ta démonstration est mathématiquement fausse !

[frédogoto]

si c'est théoriquement possible, ça va etre TRÈS dur

[Axel]

Oh que non, tu prends un annuaire, tu téléphone en demandant les dates d'anniversaire, tu sélectionnes les gens.

Ou alors, tu vas en mairie (à Paris par exemple hein, pas à Longuesse ), tu consulte le registre d'état civil, et hop !

[frédogoto]

tu va y arriver mais moi je te tien le paris : tu va gravement en chier. et c'est pas 366 coup de fil que tu vas passer pour y arriver, mais de dizaine de milliers